The proof starts from the Peano Postulates, which define the natural
numbers N. N is the smallest set satisfying these postulates:

P1. 1 is in N.
P2. If x is in N, then its "successor" x' is in N.
P3. There is no x such that x' = 1.
P4. If x isn't 1, then there is a y in N such that y' = x.
P5. If S is a subset of N, 1 is in S, and the implication
(x in S => x' in S) holds, then S = N.

Then you have to define addition recursively:
Def: Let a and b be in N. If b = 1, then define a + b = a'
(using P1 and P2). If b isn't 1, then let c' = b, with c in N
(using P4), and define a + b = (a + c)'.

Then you have to define 2:
Def: 2 = 1'

2 is in N by P1, P2, and the definition of 2.

Theorem: 1 + 1 = 2

Proof: Use the first part of the definition of + with a = b = 1.
Then 1 + 1 = 1' = 2 Q.E.D.

Note: There is an alternate formulation of the Peano Postulates which
replaces 1 with 0 in P1, P3, P4, and P5. Then you have to change the
definition of addition to this:
Def: Let a and b be in N. If b = 0, then define a + b = a.
If b isn't 0, then let c' = b, with c in N, and define
a + b = (a + c)'.

You also have to define 1 = 0', and 2 = 1'. Then the proof of the
Theorem above is a little different:

Proof: Use the second part of the definition of + first:
1 + 1 = (1 + 0)'
Now use the first part of the definition of + on the sum in
parentheses: 1 + 1 = (1)' = 1' = 2 Q.E.D.

Buktinya dimulai dari Peano Postulat , yang mendefinisikan bilangan asli N. N adalah himpunan terkecil memuaskan postulat ini :

P1 . 1 adalah N.
P2 . Jika x adalah N , maka " penerus " x ' di N.
P3 . Tidak ada x seperti x ' = 1 .
P4 . Jika x bukan 1 , maka ada ay di N sedemikian rupa sehingga y ' = x .
P5 . Jika S adalah himpunan bagian dari N , 1 di S , dan implikasinya
( x di S = > x ' di S ) memegang , maka S = N.

Kemudian Anda harus mendefinisikan Selain rekursif :
Def : Biarkan a dan b berada di N. Jika b = 1 , kemudian menentukan + b = a '
( menggunakan P1 dan P2 ) . Jika b bukan 1 , kemudian biarkan c ' = b , dengan c di N
( menggunakan P4 ) , dan menetapkan + b = (a + c ) ' .

Kemudian Anda harus mendefinisikan 2 :
Def : 2 = 1 '

2 adalah di N oleh P1 , P2 , dan definisi 2 .

Teorema : 1 + 1 = 2

Bukti : Gunakan bagian pertama dari definisi + dengan a = b = 1 .
Kemudian 1 + 1 = 1 ' = 2 Q.E.D.

Catatan : Ada formulasi alternatif dari Peano Postulat yang
menggantikan 1 dengan 0 di P1 , P3 , P4 , dan P5 . Kemudian Anda harus mengubah
definisi Selain itu :
Def : Biarkan a dan b berada di N. Jika b = 0 , kemudian menentukan + b = a .
Jika b bukan 0 , maka biarkan c ' = b , dengan c di N , dan menentukan
a + b = (a + c ) ' .

Anda juga harus menentukan 1 = 0 ' , dan 2 = 1 ' . Kemudian bukti
Teorema di atas adalah sedikit berbeda :

Bukti : Gunakan bagian kedua dari definisi + pertama :
1 + 1 = ( 1 + 0 ) '
Sekarang gunakan bagian pertama dari definisi + pada jumlah di
kurung : 1 + 1 = ( 1 ) ' = 1 ' = 2 Q.E.D.